Question

如图1，抛物线y＝﹣与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．

（1）求线段AC的长；

（2）如图2，E为抛物线的顶点，F为AC上方的抛物线上一动点，M、N为直线AC上的两动点（M在N的左侧），且MN＝4，作FP⊥AC于点P，FQ∥y轴交AC于点Q．当△FPQ的面积最大时，连接EF、EN、FM，求四边形ENMF周长的最小值．

（3）如图3，将△BCO沿x轴负方向平移个单位后得△B'C'O'，再将△B'C'O'绕点O'顺时针旋转α度，得到△B″C″O'（其中0°＜α＜180°），旋转过程中直线B″C″与直线AC交于点G，与x轴交于点H，当△AGH是等腰三角形时，求α的度数．

Answer

（1）6（2）（3）α的值为15°或60°或105°或150°

【解析】

（1）根据抛物线的解析式求出A，C两点坐标，可得OA＝3，OC＝3，利用勾股定理即可解决问题．

（2）如图2﹣1中，延长FQ交OA于D．设F（m，﹣ m2﹣m+3），构建二次函数求出FQ的值最大时的点F的坐标，如图2﹣2中，作FF′∥AC，使得FF′＝MN＝4，作点F′关于直线AC的对称点F″，连接FF″交直线AC于点M，连接FM，EN，EF，此时四边形ENMF的周长最短．再求出点M．N的坐标即可解决问题．

（3）分四种情形分别画出图象求解即可．

（1）由题意：A（﹣3，0），B（，0），C（0，3），

∴OA＝3，OC＝3，

∴AC＝＝6．

（2）如图2﹣1中，延长FQ交OA于D．设F（m，﹣ m2﹣m+3），

∵tan∠CAO＝＝，

∴∠CAO＝30°，∵FQ∥y轴，FP⊥AC，

∴∠ADQ＝∠FPQ＝90°，

∴∠AQD＝∠FQP＝60°，

∴当FQ最大时，△FPQ的面积最大，

∵直线AC的解析式为y＝x+3，

∴Q（m， m+3），

∴FQ＝﹣m2﹣m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣m＝﹣（m+）2+，

∵﹣＜0，

∴m＝﹣，FQ的值最大，即△PFQ的面积最大，此时F（﹣，），

如图2﹣2中，作FF′∥AC，使得FF′＝MN＝4，作点F′关于直线AC的对称点F″，连接FF″交直线AC于点M，连接FM，EN，EF，此时四边形ENMF的周长最短．

由题意点F向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F′（，），

∵F″与F′关于直线AC对称，

∴F″（，），

∴M（），N（），

∵抛物线顶点E（﹣，4），

∴FM＝，EN＝＝，EF＝＝，

∴四边形ENMF的周长的最小值为.

（3）①如图3﹣1中，当AG＝AH时

∵AG＝AH，∠HAG＝30°，

∴∠AHG＝∠AGH＝75°，

∵∠AHG＝∠HO′B″+∠O′B″H，∠O′B″H＝60°

∴∠HO′B″＝15°，

∴α＝15°

②如图3﹣2中，当HA＝HG时，

∵AG∥O′C″，

∴∠HO′C″＝∠GAO＝30°，

∴∠HO′B″＝60°，

∴α＝60°．

③如图3﹣3中，当AG＝AH时，

∵∠AGH＝∠AHG＝15°，

∵∠O′C″B″＝∠C″O′H+∠AHG，

∴∠HO′C″＝15°，

∴∠HO′B″＝105°，

∴α＝105°．

④如图3﹣4中，当GA＝GH时，同法可得∠OO′B″＝150°，α＝150°．

综上所述，满足条件的α的值为15°或60°或105°或150°．