Question

如图，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角尺的直角顶点与斜边AB的中点M重合，当三角尺绕着点M旋转时，两直角边始终保持分别与边BC、AC交于D，E两点(D、E不与B、A重合)．

(1)求证：MD=ME；

(2)求四边形MDCE的面积：

(3)若只将原题目中的“AC=BC=2”改为“BC=a，AC=b，(a≠b)”其它都不变，请你探究：MD和ME还相等吗?如果相等，请证明；如果不相等，请求出MD∶ME的值．

Answer

（1）证明见解析（2）1（3）不相等

【解析】

（1）证明MD和ME所在的△BDM≌△CEM即可；
（2）由（1）中的全等得到面积相等，把所求的四边形的面积进行转换，成为三角形的面积即可；
（3）过M点作MF⊥BC于F，MH⊥AC于H，证明△MFD△MHE，再根据相似三角形的性质可得到MD∶ME的值．

⑴、证明：连接CM，

在Rt△ABC中，M是AB的中点，且AC＝BC，

∴CM＝AB＝BM

∠MCE＝∠B＝450，CM⊥AB

而∠BMD＝900－∠DMC，∠EMC＝900－∠DMC，

∴∠BMD＝∠EMC

△BDM≌△CEM（ASA）

∴MD＝ME

⑵、∵△BDM≌△CEM，∴S四边形DMEC＝S△DMC＋S△CME＝S△DMC＋S△BMD＝S△BCM＝S△ACB＝1，

∴四边形MDCE的面积为1.

⑶、不相等.

如图所示，过M点作MF⊥BC于F，MH⊥AC于H，

∵M是AB的中点，

∴MF＝b，MH＝a

∠FMD＝900－∠DMH，∠EMH＝900－∠DMH，故∠FMD＝∠EMH

∠MFD＝∠MHE＝900，

∴△MFD△MHE，

∴== .