Question

已知直线a∥b，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．

（1）如图，当点P在线段EF上运动时，试探索∠1，∠2，∠3之间的关系，并给出证明；

（2）当点P在线段EF外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是否还成立？若不成立，请你探索∠1，∠2，∠3之间的关系（不需要证明）．

Answer

（1）∠1+∠3＝∠2，证明见解析；（2）不成立，∠1+∠2＝∠3或∠2+∠3＝∠1

【解析】

（1）过点P作直线PM，使PM∥直线a，根据两直线平行，内错角相等即可求解；

（2）分当点P在FE的延长线上运动时和当点P在EF的延长线上运动时两种情况进行讨论即可．

（1）∠1+∠3＝∠2，

证明：过P作PM∥a，

∵a∥b，

∴a∥b∥PM，

∴∠1＝∠APM，∠3＝∠BPM，

∴∠1+∠3＝∠APM+∠BPM，

即∠1+∠3＝∠2；

（2）不成立，

有两种情况：

①如图2，

此时∠1+∠2＝∠3，

理由是：∵a∥b，

∴∠3＝∠PQE，

∵∠1+∠2＝∠PQE，

∴∠1+∠2＝∠3；

②如图3，

此时∠2+∠3＝∠1，

理由是：∵a∥b，

∴∠1＝∠PQF，

∵∠2+∠3＝∠PQF，

∴∠2+∠3＝∠1．