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抛物线y=x2﹣9与x轴交于A、B两点,点P在函数y=的图象上,若△PAB为直角...

抛物线yx29x轴交于AB两点,点P在函数y的图象上,若△PAB为直角三角形,则满足条件的点P的个数为(   )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

 

D 【解析】 先由二次函数与一元二次方程的关系求出A、B两点的坐标,然后分类讨论:①当∠PAB=90°时,则P点的横坐标为-3,根据反比例函数图象上点的坐标特征易得P点有1个;②当∠APB=90°,设P(x,),根据两点间的距离公式和勾股定理可得(x+3)2+()2+(x-3)2+()2=36,此时P点有4个,③当∠PBA=90°时,P点的横坐标为3,此时P点有1个. 解得, x=±3, ∴A(-3,0),B(3,0). ①当∠PAB=90°时,如图1,P点的横坐标为-3,把x=-3代入y=得y=-,所以此时P点有1个; ②当∠APB=90°,如图2,设P(x,),PA2=(x+3)2+()2,PB2=(x-3)2+()2,AB2=(3+3)2=36, ∵PA2+PB2=AB2, ∴(x+3)2+()2+(x-3)2+()2=36, 整理得x4-9x2+4=0,所以x2=,或x2=, 所以此时P点有4个, ③当∠PBA=90°时,如图3,P点的横坐标为3,把x=3代入y=得y=,所以此时P点有1个; 综上所述,满足条件的P点有6个. 故选:D.
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