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如图1,在矩形ABCD中,AC为对角线,延长CD至点E使CE=CA,连接AE.F...

如图1,在矩形ABCD中,AC为对角线,延长CD至点E使CE=CA,连接AEFAB上的一点,且BF=DE,连接FC

1)若DE=1CF=,求CD的长;

2)如图2,点G为线段AE的中点,连接BGACH,若∠BHC+ABG=60°,求证:AF+CE=AC

 

(1)3;(2)见解析. 【解析】 (1)先证明△ADE≌△CBF,可得AE=CF= ,设CD=x,则CE=AC=x+1 ,在Rt△ACD中根据勾股定理列方程求解; (2)延长BG交CD的延长线于点M,先证明△ABG≌EMG,从而可得CE+AF= 2CD,由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可求∠M=∠MCG=∠ACG=∠ABG=15°,从而∠ACD=30,由cos∠ACD=得,进而可证明结论. (1)【解析】 ∵矩形ABCD , ∴AD=BC,∠ADC=∠ABC=90 . ∵∠ADE+∠ADC=180 , ∴∠ADC=90 , ∴∠ADC=∠ABC . ∵BF=DE , ∴△ADE≌△CBF , ∴AE=CF= , ∴在Rt△ABC中, AD= , 设CD=x,则CE=AC=x+1 , , 解得: , 即: ; (2)证明:延长BG交CD的延长线于点M 易证△ABG≌EMG, ∴GM=GB,AB=CD,∠ABG=∠M, 又BF=ED, ∴AF=ME. ∴CE+AF=CE+ME=2CD, 连接CG, 在Rt△MCB, CG=MG, ∴∠M=∠MCG. 又CA=CE,且点G是AE的中点, ∴ ∠MCG=∠ACG, 又∠BHC=∠M+∠MCG+∠ACG, ∠BHC+∠ABG=60, ∴∠M=∠MCG=∠ACG=∠ABG=15 ∴∠ACD=30 ∵cos∠ACD=, ∴, ∴AF+CE=AC.
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