Question

如图，等边△ABC的边长为10cm，点D从点C出发沿CA向点A运动，点E从点B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D，E都以1cm/s的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，点D运动到点A后两点同时停止运动．

（1）当△ADE是直角三角形时，求D，E两点运动的时间；

（2）求证：在运动过程中，点P始终是线段DE的中点．

Answer

（1）s；（2）证明见解析

【解析】

（1）经过分析当△ADE是直角三角形时，只有∠ADE=90°的情况，此时∠AED=30°．用运动时间t表示出AD和AE，根据30度直角三角形的性质构造关于t的方程即可求解；

（2）过D点作DK∥AB交BC于点K，证明△DKP≌△EBP即可说明点P始终是线段DE的中点．

（1）当△ADE是直角三角形时，只有∠ADE＝90°的情况，

∵∠A＝60°，

∴∠AED＝30°，

∴AE＝2AD，

设D点运动时间为t，则E点运动时间也为t，

∴AD＝10﹣t，AE＝10+t，

∴10+t＝2（10﹣t），解得t＝，

所以当△ADE是直角三角形时，D，E两点运动的时间为秒；

（2）过点D作DK∥AB交BC于点K，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠C＝∠CDK＝∠CKD＝60°，

∴CD＝DK＝CK，∠DKP＝∠EBP＝120°，

设D、E运动时间为t秒，则CD＝BE＝t，

在△DKP和△EBP中，

∴△DKP≌△EBP（AAS），

∴PD＝PE，

所以P始终为DE中点．