Question

如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在坐标轴上，A，B两点关于y轴对称，点C是y轴正半轴上一个动点，AD是角平分线．

（1）如图1，若∠ACB＝90°，直接写出线段AB，CD，AC之间数量关系；

（2）如图2，若AB＝AC+BD，求∠ACB的度数；

（3）如图2，若∠ACB＝100°，求证：AB＝AD+CD．

Answer

（1）AB＝AC+CD；（2）108°；（3）证明见解析

【解析】

（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，根据轴对称的性质得到CA=CB，根据角平分线的性质得到CD=MD，∠ABC=45°，根据全等三角形的性质得到AC=AM，于是得到结论；

（2）设∠ACB=α，则∠CAB=∠CBA=90°-α，在AB上截取AK=AC，连结DK，根据角平分线的定义得到∠CAD=∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD=∠AKD=α，根据三角形的内角和即可得到结论；

（3）如图2，在AB上截取AH=AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB=∠CBA=40°，根据角平分线的定义得到∠HAD=∠CAD=20°，求得∠ADH=∠AHD=80°，在AB上截取AK=AC，连接DK，根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠AKD=100°，CD=DK，根据等腰三角形的性质得到DH=BH，于是得到结论．

（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，

∵A，B两点关于y轴对称，

∴CA＝CB，

∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，

∴CD＝MD，∠ABC＝45°，

∴∠BDM＝45°，

∴BM＝DM，

∴BM＝CD，

在RT△ADC和RT△ADM中，，

∴RT△ADC≌RT△ADM（HL），

∴AC＝AM，

∴AB＝AM+BM＝AC+CD，

即AB＝AC+CD；

（2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°﹣α，

在AB上截取AK＝AC，连结DK，

∵AB＝AC+BD，

∴BK＝BD，

∵AD是角平分线，

∴在△CAD和△KAD中，，

∴△CAD≌△KAD（SAS），

∴∠ACD＝∠AKD＝α，

∴∠BKD＝180°﹣α，

∵BK＝BD，

∴∠BDK＝180°﹣α，

在△BDK中，

180°﹣α+180°﹣α+90°﹣α＝180°，

∴α＝108°，

∴∠ACB＝108°；

（3）如图2，在AB上截取AH＝AD，连接DH，

∵∠ACB＝100°，AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA＝40°，

∵AD是角平分线，

∴∠HAD＝∠CAD＝20°，

∴∠ADH＝∠AHD＝80°，

在AB上截取AK＝AC，连接DK，

由（1）得，△CAD≌△KAD，

∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，

∴∠DKH＝80°＝∠DHK，

∴DK＝DH＝CD，

∵∠CBA＝40°，

∴∠BDH＝40°，

∴DH＝BH，

∴BH＝CD，

∵AB＝AH+BH，

∴AB＝AD+CD．