Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．

求抛物线的解析式；

在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标．

Answer

（1）；（2）存在，P点的坐标为或或：（3）当E运动到BC的中点时，面积最大为，此时．

【解析】

把，代入列方程组即可．

先求出CD的长，分两种情形当时，当时分别求解即可．

求出直线BC的解析式，设则，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

【解析】
把，代入得，

解得，，

抛物线的解析式为．

存在如图1中，，，

，，

当时，可得．

当时，可得，

综上所述，满足条件的P点的坐标为或或．

如图2中，

对于抛物线，当时，，解得，

，，

由，得直线BC的解析式为，

设则，

，当时，EF有最大值2，

此时E是BC中点，

当E运动到BC的中点时，面积最大，

最大面积，此时．