Question

如图，已知，60°，点P是射线AM上一动点与点A不重合，BC、BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．

求的度数；

当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．

当点P运动到使时，的度数是______．

Answer

（1）60°；（2）不变化，∠APB=2∠ADB，证明详见解析；（3）30°．

【解析】

试题（1）已知AM∥BN，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠ABN=180°，从而求得ABN=120°；已知BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，根据角平分线的定义可得∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠NBP，所以∠CBD=∠ABN=60°；（2）不变化，∠APB=2∠ADB，已知AM∥BN，根据两直线平行，内错角相等即可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN；由BD平分∠PBN，根据角平分线的定义可得∠PBN=2∠DBN，即可得∠APB=2∠ADB；（3）由AD∥BN，根据两直线平行，内错角相等即可得∠ACB=∠CBN；又∠ACB=∠ABD，可得∠CBN=∠ABD，所以∠ABC=∠DBN；

由（1）可得，∠CBD=60°，∠ABN=120°，即可求得∠ABC=（120°﹣60°）=30°.

试题解析：

（1）∵AM∥BN，

∴∠A+∠ABN=180°，

∵∠A=60°，

∴∠ABN=120°，

∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠NBP，

∴∠CBD=∠ABN=60°；

（2）不变化，∠APB=2∠ADB，

证明：∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN，

∠ADB=∠DBN，

又∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN=2∠DBN，

∴∠APB=2∠ADB；

（3）∵AD∥BN，

∴∠ACB=∠CBN，

又∵∠ACB=∠ABD，

∴∠CBN=∠ABD，

∴∠ABC=∠DBN，

由（1）可得，∠CBD=60°，∠ABN=120°，

∴∠ABC=（120°﹣60°）=30°，

故答案为：30°．