Question

已知如图等腰，，，于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，，下面的结论：；是等边三角形；；其中正确的是　　

A.  B.  C.  D.

Answer

D

【解析】

试题连接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，∴OB=OC， BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，∴∠ABC=90°-∠BAD=30°，

∵OP=OC，∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；故①正确；

∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，∴∠APC+∠DCP=150°，∵∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°，

∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，∵OP=OC，∴△OPC是等边三角形；故②正确；在AC上截取AE=PA，

∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，∴∠APO+∠OPE=60°，

∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，∴∠APO=∠CPE，∵OP=CP，

在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO=CE，∴AC=AE+CE=AO+AP；故③正确；

过点C作CH⊥AB于H，

∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，∴CH=CD，

∴S△ABC=AB·CH，S四边形AOCP＝S△ACP+S△AOC＝AP·CH+OA·CD

=AP·CH+OA·CH=CH·（AP+OA）=CH=·AC，

∴S△ABC=S四边形AOCP；

故④正确．所以①②③④都正确，故选：D．