Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E．

（1）求证：E是AC中点；

（2）若AB=10，BC=6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）OF=1.8．

【解析】

（1）连接CD，根据切线的性质，就可以证出∠A=∠ADE，从而证明AE=CE；

（2）求出OD，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE，根据勾股定理求出OE，根据三角形面积公式求DF，根据勾股定理求出OF即可．

（1）连接CD，

∵∠ACB=90°，BC为⊙O直径，

∴ED为⊙O切线，且∠ADC=90°；

∵ED切⊙O于点D，

∴EC=ED，

∴∠ECD=∠EDC；

∵∠A+∠ECD=∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠A=∠ADE，

∴AE=ED，

∴AE=CE，

即E为AC的中点；

∴BE=CE；

（2）连接OD，

∵∠ACB=90°，

∴AC为⊙O的切线，

∵DE是⊙O的切线，

∴EO平分∠CED，

∴OE⊥CD，F为CD的中点，

∵点E、O分别为AC、BC的中点，

∴OE=AB==5，

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，由勾股定理得：AC=8，

∵在Rt△ADC中，E为AC的中点，

∴DE=AC==4，

在Rt△EDO中，OD=BC==3，DE=4，由勾股定理得：OE=5，

由三角形的面积公式得：S△EDO=，

即4×3=5×DF，

解得：DF=2.4，

在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF===1.8．