Question

对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若，则称为点P的最大距离；若，则称为点P的最大距离.

例如：点P（，）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3 < 4，所以点P的最大距离为.

（1）①点A（2，）的最大距离为            ；

②若点B（，）的最大距离为，则的值为            ；

（2）若点C在直线上，且点C的最大距离为，求点C的坐标；

（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为，直接写出⊙O的半径r的取值范围.

Answer

（1）①5； ②；（2）C（，）或（，）；(3) .

【解析】

（1）①直接根据“最大距离”的定义，其最小距离为“最大距离”；

②点B（a，2）到x轴的距离为2，且其“最大距离”为5，所以a=±5；

（2）根据点C的“最大距离”为5，可得x=±5或y=±5，代入可得结果；

（3）如图，观察图象可知：当⊙O于直线x=5，直线x=-5，直线y=5，直线y=-5有交点时，⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，

（1）①∵点A（2，-5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，

∵2＜5，

∴点A的“最大距离”为5．

②∵点B（a，2）的“最大距离”为5，

∴a=±5；

故答案为5，±5．

（2）设点C的坐标（x，y），

∵点C的“最大距离”为5，

∴x=±5或y=±5，

当x=5时，y=-7，

当x=-5时，y=3，

当y=5时，x=-7，

当y=-5时，x=3，

∴点C（-5，3）或（3，-5）．

（3）如图，观察图象可知：当⊙O于直线x=5，直线x=-5，直线y=5，直线y=-5有交点时，⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，

∴5≤r≤5．