Question

(1)填空：2¹﹣2⁰＝　   　＝2^{(　   　)}；

2²﹣2¹＝　   　＝2^{(　   　)}；

2³﹣2²＝　   　＝2^{(　   　)}；

… 

(2)探索(1)中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；

(3)计算2⁰+2¹+2²+..+2¹⁰⁰．

Answer

(1)2﹣1；0；4﹣2；1；8﹣4；2；(2)见解析；(3)2101﹣1．

【解析】

（1）根据乘方的运算法则计算即可；

（2）根据式子规律可得2n-2n-1=2n-1，然后利用提公因式2n-1可以证明这个等式成立；

（3）设题中的表达式为a，再根据同底数幂的乘法得出2a的表达式，相减即可．

（1）21﹣20＝2﹣1＝20

22﹣21＝4﹣2＝21

23﹣22＝8﹣4＝22，

故答案为：2﹣1；0；4﹣2；1；8﹣4；2.

（2）第n个等式为： 2n-2n-1=2n-1，

∵左边=2n-2n-1=2n-1（2-1）=2n-1，

右边=2n-1，

∴左边=右边，

∴2n-2n-1=2n-1.

（3）20+21+22+..+2100

＝2×(20+21+22+..+2100)﹣(20+21+22+..+2100)

＝21﹣20+22﹣21+23﹣22+…+2101﹣2100

＝2101﹣1．