Question

如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

(1)如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；

(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．

(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

Answer

（1）130°．（2）∠Q==90°﹣∠A；（3）∠A的度数是90°或60°或120°．

【解析】

整体

(1)用角平分线的定义和三角形的内角和定理求解；(2)用三角形的一个外等于和它不相邻的两个内角的和，角平分线的定义和三角形的内角和定理求解；(3)用(2)的方法确定∠A与∠E的数量关系，判断∠EBQ=90°，分四种情况讨论求解.

解：(1)因为△ABC的角平分线BD、CE相交于点P，

所以∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，

因为∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，

所以∠PBC∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=×100°=50°，

所以∠BPC=180°-(∠PBC∠PCB)=180°-50°=130°.

(2)因为△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，

所以∠QBC=(∠A+∠ACB)，∠PCB=(∠A+∠ABC)，

所以∠QBC∠QCB

=(∠A+∠A+∠ABC+∠ACB)

=(∠A+180°)=∠A+90°.

又因为∠QBC∠QCB=180°-∠Q，

所以∠A+90°=180°-∠Q，

所以∠Q=90°-∠A.

(3)如图，连结BC并延长到点F．

∵CQ为△ABC的外角的角平分线，

∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠ECF，

∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，

∵∠ECF=∠EBC+∠E，

∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，

又∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=∠A；

∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=∠ABC+∠MBC=(∠ABC+∠A+∠ACB)=90°．

如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：

①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；

②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；

③∠Q=2∠E，则90°-∠A=∠A，解得∠A=60°；

④∠E=2∠Q，则∠A=2(90°-∠A)，解得∠A=120°．

综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．