Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3，0)，AB=4．

(1)求二次函数y=ax²+bx+c的表达式；

(2)点M是二次函数对称轴上一动点，当点M运动到什么位置时，△ACM的周长最小？求出此时M点的坐标；

(3)点P是直线BC上方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．

Answer

（1）y=﹣x2+2x+3（2）(1，2)（3）当点P的坐标为(，)时，四边形ACPB的最大面积值为

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）要使△ACM的周长最小，AC长不变，即为AM+CM的和最小, 点A、点B关于对称轴对称，所以点M为对称轴与直线BC的交点；

（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

(1)因为AB=4，所以A点的坐标(－1，0)，

将点A、点B和点C的坐标代入函数解析式，得

 ,解得

二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；

(2)对称轴x=1，要使△ACM的周长最小，AC长不变，即为AM+CM的和最小．

点A、点B关于对称轴对称，所以点M为对称轴与直线BC的交点．

设直线BC的解析式为y=kx+t，

将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

解得

直线BC的解析为y=﹣x+3，

当x=1时，y=2.则M(1，2)

(3)如图2，过点P，PF⊥x轴，交CB于点Q

P在抛物线上，设P(m，﹣m2+2m+3)，

直线BC的解析为y=﹣x+3，

设点Q的坐标为(m，﹣m+3)，

PQ=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m．

AB=4，

S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

=AB•OC+PQ•OF+PQ•FB

=×4×3+（-m2+3m）×3

=-（m-）2+，

当m=时，四边形ABPC的面积最大．

当m=时，-m2+2m+3=，即P点的坐标为（，）．

当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为．