Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）求tan∠ABE的值；

（3）若OA=2，求线段AP的长．

Answer

（1）证明见解析（2）；（3）

【解析】

（1）连接AD、OD，根据圆周角定理得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形的直线得DC=DB，所以OD为△BAC的中位线，则OD∥AC，然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE，

这样根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）易得四边形OAED为正方形，然后根据正切的定义计算tan∠ABE的值；

（3）由AB是⊙O的直径得∠AFB=90°，再根据等角的余角相等得∠EAP=∠ABF，则tan∠EAP=tan∠ABE=，在Rt△EAP中，利用正切的定义可计算出EP，然后利用勾股定理可计算出AP．

（1）证明：连接AD、OD，如图，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴AD垂直平分BC，即DC=DB，

∴OD为△BAC的中位线，

∴OD∥AC，

而DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵OD⊥DE，DE⊥AC，

∴四边形OAED为矩形，

而OD=OA，

∴四边形OAED为正方形，

∴AE=AO，

∴tan∠ABE=；

（3）【解析】
∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，

∴∠ABF+∠FAB=90°，

而∠EAP+∠FAB=90°，

∴∠EAP=∠ABF，

∴tan∠EAP=tan∠ABE=，

在Rt△EAP中，AE=2，

∵tan∠EAP=，

∴EP=1，

∴AP==．