Question

将两块斜边长相等的等腰直角三角板按如图①摆放，斜边AB分别交CD，CE于M，N点．

(1)如果把图①中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接FM，如图②，求证：△CMF≌△CMN；

(2)将△CED绕点C旋转，则：

①当点M，N在AB上(不与点A，B重合)时，线段AM，MN，NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；

②当点M在AB上，点N在AB的延长线上(如图③)时，①中的关系式是否仍然成立？

Answer

(1)见解析；(2)①见解析；②仍然成立．

【解析】

（1）根据旋转的性质可得CF=CN，∠ACF=∠BCN，再求出∠ACM+∠BCN=45°，从而求出∠MCF=45°，然后利用“边角边”证明△CMF和△CMN全等即可；

（2）①根据全等三角形对应边相等可得FM=MN，再根据旋转的性质可得AF=BN，∠CAF=∠B=45°，从而求出∠BAF=90°，再利用勾股定理列式即可得解；

②把△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，根据旋转的性质可得AF=BNCF=CN，∠BCN=∠ACF，再求出∠MCF=∠MCN，然后利用“边角边”证明△CMF和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得MF=MN，然后利用勾股定理列式即可得解．

（1）∵△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，

∴CF=CN，∠ACF=∠BCN，

∵∠DCE=45°，

∴∠ACM+∠BCN=45°，

∴∠ACM+∠ACF=45°，

即∠MCF=45°，

∴∠MCF=∠MCN，

在△CMF和△CMN中，

，

∴△CMF≌△CMN（SAS）；

（2）①∵△CMF≌△CMN，

∴FM=MN，

又∵∠CAF=∠B=45°，

∴∠FAM=∠CAF+∠BAC=45°+45°=90°，

∴AM2+AF2=FM2，

∴AM2+BN2=MN2；

②如图，把△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，

则AF=BN，CF=CN，∠BCN=∠ACF，

∵∠MCF=∠ACB-∠MCB-∠ACF=90°-（45°-∠BCN）-∠ACF=45°+∠BCN-∠ACF=45°，

∴∠MCF=∠MCN，

在△CMF和△CMN中，

，

∴△CMF≌△CMN（SAS），

∴FM=MN，

∵∠ABC=45°，

∴∠CAF=∠CBN=135°，

又∵∠BAC=45°，

∴∠FAM=∠CAF-∠BAC=135°-45°=90°，

∴AM2+AF2=FM2，

∴AM2+BN2=MN2．