Question

如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP²=PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　）

A. ①③    B. ②③    C. ②③④    D. ②④

Answer

B

【解析】①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM=0，显然FM≠CM；

②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP=∠DCP，

∵四边形PECF是矩形，

∴OF=OC，

∴∠OCF=∠OFC，

∴∠OFC=∠DAP，

∵∠DAP+∠AMD=90°，

∴∠GFM+∠AMD=90°，

∴∠FGM=90°，

∴AH⊥EF．

③正确．∵AD∥BH，

∴∠DAP=∠H，

∵∠DAP=∠PCM，

∴∠PCM=∠H，

∵∠CPM=∠HPC，

∴△CPM∽△HPC，

∴=，

∴PC2=PM•PH，

根据对称性可知：PA=PC，

∴PA2=PM•PH．

④正错误．∵四边形PECF是矩形，

∴EF=PC，

∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，

∵AC=2，

∴PC的最小值为1，

∴EF的最小值为1；

故选B．