Question

在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．

(1)（观察猜想）当点E在AB的中点时，如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，观察猜想得到线段AE与DB的大小关系是　   　；

(2)（探究证明）当点E不是AB的中点时，如图2，上述结论是否成立，如果成立，请写出解答过程，如果不成立，请说明理由；

(3)（拓展延伸）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长(请直接写出结果)．

Answer

(1)AE＝DB；(2)AE＝DB，理由见解析；(3)CD线段 的长度是3或1．

【解析】

（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D＝∠ECB＝30°，求出∠DEB＝30°，求出BD＝BE即可；

（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD＝EF即可；

（3）根据（2）的结论计算即可．

(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，

∴CE平分∠ACB，CE⊥AB，

∴∠ACB＝60°，∠BEC＝90°，AE＝BE，

又∵ED＝EC，

∴∠D＝∠ECB＝30°，

∴∠DEC＝120°，

∴∠DEB＝120°﹣90°＝30°，

∴∠D＝∠DEB＝30°，

∴BD＝BE＝AE，即AE＝DB．

故答案为：AE＝DB．

(2)如图2，当点E为AB上任意一点时，AE＝DB．理由如下：

如图2，过E作EF∥BC交AC于F，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，

∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴AE＝EF＝AF，

∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，

∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，

∵DE＝EC，

∴∠D＝∠ECD，

∴∠BED＝∠ECF，

在△DEB和△ECF中，

∴△DEB≌△ECF(AAS)，

∴BD＝EF＝AE，即AE＝BD，

(3)如图2，当点E在线段AB上时，CD＝BC+BD＝BC+AE＝2+1＝3．

当点E不在线段AB上时，CD＝BC﹣AE＝2﹣1＝1．

综上所述，CD线段的长度是3或1．