Question

如图1，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上.

(1)求证AE²+AD²=2AC² ；

(2)如图2，过点C作CO垂直AB于0点并延长交DE于点F，请确定线段AE、AF、DF间的数量关系，并证明你的结论.

Answer

（1）见解析；（2）AF2=AE2+DF2，证明见解析.

【解析】

(1)根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ACE≌△BCD，就可以得出AE=BD，∠E=∠BDC，由等腰直角三角形的性质就可以得出∠ADB=90°，由勾股定理就可以得出结论．

(2)连接BD、BF，由(1)可知∠FDB=90°,可得BF2=DF2+BD2=DF2+AE2, 又因为AC=BC，CO⊥AB，所以CF垂直平分AB，所以AF=BF，即可得出线段AE、AF、DF间的数量关系.

(1)如图，连接BD,

因为∠1+∠2=∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3.

又因为CA=CB，CE=CD，所以△ACE≌△BCD(SAS),

所以BD=AE，∠BDC=∠E=45°,

所以∠CDE=45°,

所以∠ADB=45°+45°=90°,

所以AD2+BD2=AB2,即AD2+AE2=AB2.

又因为在Rt△ABC中，∠ACB=90°,可得AB2=AC2+BC2=2AC2,所以AE2+AD2=2AC2

(2)连接BD、BF，AF2=AE2+DF2，

在Rt△FDB中，∠FDB=90°,可得BF2=DF2+BD2=DF2+AE2,又因为AC=BC，CO⊥AB，所以CF垂直平分AB，所以AF=BF，所以AF2=AE2+DF2.