Question

已知直线AB的函数表达式为y＝x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为t秒．

（1）求点A、B两点的坐标；

（2）当t为何值时，经过B、C两点的直线与直线AB关于y轴对称？并求出直线BC的函数关系式；

（3）在第（2）问的前提下，在直线AB上是否存在一点P，使得S_△BCP＝2S_△ABC？如果存在，请求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）B（0，4），A（﹣3，0）;（2）t＝3秒,直线BC解析式为：y＝﹣x+4;（3）见解析.

【解析】

（1）令＝0，则y＝4可求出点B的坐标，令y＝0，则0＝x+4可求得点A的坐标；

（2）先求出点A′的坐标，即点C的坐标，运用待定系数法可得直线BC的解析式；

（3）分两种情况：当点P在第三象限时，当点P在第一象限时分别求解即可．

（1）令＝0，则y＝4，

则点B（0，4），

令y＝0，则0＝x+4，解得：x＝﹣3，

则点A（﹣3，0）．

（2）点A关于y轴点对称点为A′（3，0），

所以当点C运动到A′（3，0）时，直线BC与直线AB关于y轴对称，则t＝＝3秒．

设此时直线BC的解析式为：y＝kx+b．

把点C（3，0）和点B（0，4）代入得：，

解得：．

故直线BC解析式为：y＝﹣x+4．

（3）存在，如图，当点P在第三象限时，S△BCP＝2S△ABC，则S△ACP＝S△ABC，

∴点P到x轴的距离等于点B到x轴的距离，

∴点P的纵坐标为﹣4，

把y＝﹣4代入到y＝x+4中得：﹣4＝x+4，

解得：x＝﹣6，

则P（﹣6，﹣4）；

当点P在第一象限时，S△BCP＝2S△ABC，则S△ACP＝3S△ABC，

∴点P到x轴的距离等于点B到x轴的距离，

∴点P的纵坐标为12，

把y＝12代入到y＝x+4中得：12＝x+4，

解得：x＝6，

则P'（6，12），

即：点P的坐标为（﹣6，﹣4）或（6，12）．