Question

如图，弓形ABC中，∠BAC＝60°，BC＝2，若点P在优弧BAC上由点B向点C移动，记△PBC的内心为I，点I随点P的移动所经过的路程为m，则m的取值范围为_____．

Answer

0＜m＜．

【解析】

可设I为△PBC的内心连接BI，利用点I的轨迹是以点D为圆心，2为半径的弧CIB（不含点C、B），可求出弧CIB的长为，进而求出m的取值范围．

如图，

将圆补全，过点O作OD⊥BC交⊙O于点D，设I为△PBC的内心连接BI、连接PD、连接BO、连接CO、连接BD、连接CD、连接PB、连接PC，

∵DO⊥BC，

∴BD=CD，∠BPD=∠CPD，

∵PBI+∠BPI=∠BID，∠DBC+∠CBI=∠IBD，∠BPD=∠BCD，

∴∠DBI=∠BID，

∴ID=BD，

∵∠BAC=60°，BC=2，

∴∠BOD=60°，△BDO是等边三角形，

∴BO==2，

∴BD=BO=ID=2，

∴动点I到定点D的距离为2，即点I的轨迹是以点D为圆心，2为半径的弧CIB（不含点C、B），

弧CIB的长为，

则m的取值范围是0＜m＜．

故答案为：0＜m＜．