Question

对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为x°、y°和z°，若x、y、z满足x²+y²＝z²，我们定义这个三角形为美好三角形．

（1）△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝80°，则△ABC　   　（填“是”或“不是”）美好三角形；

（2）如图，锐角△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝60°，AC＝2，⊙O的直径是2，求证：△ABC是美好三角形；

（3）已知△ABC是美好三角形，∠A＝30°，求∠C的度数．

Answer

（1）不是；（2）见解析；（3）∠C＝78°或72°.

【解析】

（1）利用美好三角形的定义得出△ABC的形状进而求出即可；

（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC的形状进而得出答案；

（3）利用美好三角形的定义进而分别得出∠C的度数．

（1）∵△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，

∴∠C＝60°

∵402+602≠802，

∴△ABC不是美好三角形；

故答案为：不是；

（2）证明：连接OA、OC，

∵AC＝2，OA＝OC＝，

∴△OAC是直角三角形，即∠AOC＝90°，

∴∠B＝45°，

∵∠C＝60°，

∴∠A＝75°，

∵即三个内角满足关系：452+602＝5625＝752，

∴△ABC是美好三角形；

（3）设∠C＝x°，则∠B＝（150﹣x）°，

若∠C为最大角，则x2＝（150﹣x）2+302，

解得x＝78，

若∠B最大角，则（150﹣x）2＝x2+302，

解得x＝72，

综上可知，∠C＝78°或72°