Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC²＝CE•CA．

（1）求证：BC＝CD；

（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．

Answer

（1）见解析，（2）⊙O的半径为4．

【解析】

（1）由DC2=CE•CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC=DC；

（2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到=2，则PC=2CD=4，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值．

（1）证明：∵DC2＝CE•CA，

∴，

而∠ACD＝∠DCE，

∴△CAD∽△CDE，

∴∠CAD＝∠CDE，

∵∠CAD＝∠CBD，

∴∠CDB＝∠CBD，

∴BC＝DC；

（2）连结OC，如图，

设⊙O的半径为r，

∵CD＝CB，

∴，

∴∠BOC＝∠BAD，

∴OC∥AD，

∴＝＝2，

∴PC＝2CD＝4，

∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，

∴△PCB∽△PAD，

∴，即，

∴r＝4，

即⊙O的半径为4．