Question

如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF＝a，△BEF的周长最小值是（　　）

A.  B.  C.  D.

Answer

B

【解析】

连接BD，可证△ABE≌△DBF，可得BE＝BF，可得△BEF为等边三角形，可得，△BEF的周长为3BE，所以当BE垂直AD时，可求△BEF的周长最小值．

【解析】
连接BD

∵ABCD是菱形，∠DAB＝60°

∴AB＝AD＝CD＝BC＝a，∠C＝∠A＝60°，∠ADC＝∠ABC＝120°

∴△ADB，△BDC为等边三角形，

∴∠ADB＝∠ABD＝60°＝∠BDC＝∠DBC，AD＝BD＝a．

∵AE+CF＝a，AE+ED＝a，CF+DF＝a

∴DF＝AE，DE＝CF，

∵AE＝DF，BD＝AB，∠A＝∠CDB

∴△AEB≌△DFB

∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF

∵∠ABE+∠DBE＝60°

∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°

∴△BEF为等边三角形.

∴△BEF的周长＝3BE

根据垂线段最短，即当BE⊥AD时，BE值最小．

在Rt△AEB中，AB＝a，∠A＝60°

∴AE＝a，BE＝a

∴△BEF的周长最小值是，

故选：B．