Question

如图，某地有一座圆弧形拱桥，

（1）如图1，请用尺规作出圆弧所在圆的圆心O；

（2）如图2，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m．桥下水面宽度AB为7.2 m，现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥，请通过计算说明此货船能否顺利通过这座拱桥.

Answer

（1）详见解析；（2）此货船能顺利通过这座拱桥．

【解析】

（1）根据垂径定理，作弦AH和HB，然后作它们的垂直平分线，则两垂直平分线的交点为圆心O．

(2) 连接ON，OB，通过求距离水面2米高处即ED长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过）．先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt△OEN中勾股定理求出EN的长，从而求得MN的长．

【解析】
（1）

（2）如图，连接ON，OB.

∵OC⊥AB，∴D为AB的中点．

∵AB＝7.2 m，

∴BD＝AB＝3.6 m.

设OB＝OC＝ON＝r m，则OD＝(r－2.4)m.

在Rt△BOD中，根据勾股定理，得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9，

∴OD＝r－2.4＝1.5(m)．

∵船宽3 m，根据垂径定理，得EN＝DF＝1.5 m，

∴OE＝＝＝3.6(m)，

∴FN＝DE＝OE－OD＝2.1m＞2 m，

∴此货船能顺利通过这座拱桥．