Question

在平面直角坐标系xOy中，有“抛物线系”y＝－（x－m）²+4m－3，顶点为点P，这些抛物线的形状与抛物线 y＝－x² 相同，但顶点位置不同．

（1）填写下表，并说出：在m取不同数值时，点P位置的变化具有什么特征？

m的值	…	－1	0	1	2	…
点P坐标	…					…

（2）若抛物线的对称轴是直线x＝1，则可确定m的值．点M（p，q）为此抛物线上的一个动点，且﹣1＜p＜2，而直线y＝kx－4（k≠0）始终经过点M．

①求此抛物线与x轴的交点坐标；

②求k的取值范围．

（3）若点Q在x轴上，点S（0，－1）在y轴上，点R在坐标平面内，且以点P，Q，R，S为顶点的四边形是正方形，试直接写出所有点Q的坐标．

Answer

（1）点P的位置始终在同一条直线上；（2）k＜－1或k＞2；（3）点Q的坐标有：（3，0），（－2，0），（，0），（－6，0），（，0），（－，0）.

【解析】

（1）由抛物线系y＝－（x－m）2+4m－3，可得顶点P的坐标为（m，4m-3），把m=-1、0、1、2一次代入4m-3，即可求出相应的纵坐标，结果填表内，通过描点发现点P的位置始终在同一条直线上；（2）①根据对称轴是直线x＝1，而抛物线顶点式y＝－（x－m）2+4m－3中对称轴是直线x=m，所以m=1，从而求得抛物线的解析式；把y=0代入解析式即可求出与x轴交点坐标；②因为﹣1＜p＜2，所以把x=-1、2分别代入抛物线的解析式，解得y=-3、0，可得点M在抛物线上点（－1，－3 ），（2，0）之间运动，不包含此两点，再把此两点的坐标分别代入直线y＝kx－4（k≠0）可得两个k的值，从而求得k的取值范围； （3）根据正方形的性质进行分类讨论可得结果.

【解析】
（1）

m的值

…

－1

0

1

2

…

点P坐标

…

（－1，－7）

（0，－3）

（1，1）

（2，5）

…

可通过描点得出：点P的位置始终在同一条直线上；

（2）①∵抛物线的对称轴为x=1，∴m=1，

∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x；

当y＝0时，﹣x2+2x＝0，∴x1＝0，x2＝2，

∴抛物线与x轴的交点坐标是：（0，0），（2，0）；

② 当﹣1＜p＜2时，结合图象，可知点M在运动中的边界点为：（－1，－3 ），（2，0）；

当过（－1，﹣3）时，代入 y=kx﹣4，k=－1；

当过（2，0）时，代入 y=kx﹣4，k=2；

综上所述：k＜－1或k＞2；

（3）点Q的坐标有：（3，0），（－2，0），（，0），（－6，0），（，0），（－，0）.

理由：

∵S（0，-1），P(m，4m-3)

∴①当SP为正方形的边长时，以SP为边向两边作正方形，如图，易证图中阴影三角形全等，解得P1（5m-2，3m-3）,由中点公式得P2（2-3m,5m-3）,由全等求得P4（4m-2,-m-1）,P3(2-4m，-1+m).

当P1、P2、P3、P4中有一点落在x轴上时即可满足条件，

当P1落在x轴上时，3m-3=0，m=1, 此时Q（3,0）

当P2落在x轴上时，5m-3=0，m= ，此时Q（,0）

当P3落在x轴上时，-1+ m=0，m=1，此时Q（-2,0）

当P4落在x轴上时，-m-1=0，m=-1，此时Q（-6,0）

②当SP为对角线时，另外两点的坐标即为图中两正方形的中心坐标，分别为（m-1, m-2）,(1-m，m-2).

当m-2=0时，m=,此时Q（，0）

当m-2时，m=，此时Q（-，0）

综上所述，Q点坐标为：（3，0），（－2，0），（，0），（－6，0），（，0），（－，0）.