Question

某科技有限公司用160万元作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润，若上一年亏损，则亏损记作下一年的成本）

（1）请求出y（万件）与x（元/件）的函数表达式；

（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）的函数表达式，并求出第一年年利润的最大值；

（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年这种电子产品每件的销售价格x（元/件）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．

Answer

（1）y＝；（2）s＝﹣（x﹣16）2﹣16，当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元；（3）11≤x≤21

【解析】

（1）依据待定系数法，即可求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）分两种情况进行讨论，当x=8时，smax=-80；当x=16时，smax=-16；根据-16＞-80，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为-16万元．
（3）根据第二年的年利润s=（x-4）（-x+28）-16=-x2+32x-128，令s=103，可得方程103=-x2+32x-128，解得x1=11，x2=21，然后在平面直角坐标系中，画出s与x的函数图象，根据图象即可得出销售价格x（元/件）的取值范围．

【解析】
（1）当4≤x≤8时，设y＝，将A（4，40）代入得k＝4×40＝160，

∴y与x之间的函数关系式为y＝；

当8＜x≤28时，设y＝k'x+b，将B（8，20），C（28，0）代入得，

，解得，

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+28，

综上所述，y＝；

（2）当4≤x≤8时，s＝（x﹣4）y﹣160＝（x﹣4）•﹣160＝﹣，

∵当4≤x≤8时，s随着x的增大而增大，

∴当x＝8时，smax＝﹣＝﹣80；

当8＜x≤28时，s＝（x﹣4）y﹣160＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣160＝﹣（x﹣16）2﹣16，

∴当x＝16时，smax＝﹣16；

∵﹣16＞﹣80，

∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．

（3）∵第一年的年利润为﹣16万元，

∴16万元应作为第二年的成本，

又∵x＞8，

∴第二年的年利润s＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣16＝﹣x2+32x﹣128，

令s＝103，则103＝﹣x2+32x﹣128，

解得x1＝11，x2＝21，

在平面直角坐标系中，画出s与x的函数示意图可得：

观察示意图可知，当s≥103时，11≤x≤21，

∴当11≤x≤21时，第二年的年利润s不低于103万元．