Question

已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x²﹣(2k+3)x+k²+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC的长为4，若△ABC是等腰三角形，则k＝____，△ABC的周长为_____．

Answer

2或3 11或13．

【解析】

先解方程可得x=k+1或x=k+2. 由△ABC是等腰三角形，分①k+1＝k+2，②k+1＝4，③k+2＝4三种情况易求k=3或2，再分两种情况求周长．

∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，

∴(x-k-1)(x-k-2)=0，

∴x＝k+1或x＝k+2，

∵△ABC是等腰三角形，

①k+1＝k+2，不成立，

②k+1＝4，∴k＝3，∴k+2＝5，周长为4+4+5＝13，

③k+2＝4，∴k＝2，∴k+1＝3，周长为3+4+4＝11

故答案为：2或3，11或13．