Question

如图，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M．

(1)求证：△EDM∽△FBM；

(2)若F是BC的中点，BD＝12，求BM的长；

(3)若AD＝BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP•BP＝BF•CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)证明见解析；(2)BM＝4；(3)存在，∠CPF＝30°．

【解析】

(1)根据题意及中点的性质得出四边形CBED是平行四边形，根据平行的性质得出∠EDB＝∠FBM，∠DME＝∠BMF，从而得出△EDM∽△FBM；

(2)根据(1)中三角形相似的比例关系即可推理得出答案;

（3）先由角平分线的定义和平行线的性质可得DC＝BC，结合DP•BP＝BF•CD可证明△PDC∽△FBP，从而∠BPF＝∠PCD，利用三角形内角和及平角定义可证∠PDC＝∠CPF，然后通过证明△ADE是等边三角形，可进一步求出结论.

(1)证明：∵AB＝2CD，点E是AB的中点，

∴DC＝EB．

又∵AB∥CD，

∴四边形BCDE为平行四边形．

∴ED∥BC．

∴∠EDB＝∠FBM．

又∵∠DME＝∠BMF，

∴△EDM∽△FBM；

(2)【解析】
∵△EDM∽△FBM，

∴，

∵F是BC的中点，

∴DE＝BC＝2BF，

∴DM＝2BM，

∴DB＝DM+BM＝3BM，

∵DB＝12，

∴BM＝DB＝×12＝4；

(3)存在，∵DC∥AB，

∴∠CDB＝∠ABD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝∠ABD，

∴∠CDB＝∠CBD，

∴DC＝BC，

∵DP•BP＝BF•CD，

∴，

∴△PDC∽△FBP，

∴∠BPF＝∠PCD，

∵∠DPC+∠CPF+∠BPF＝180°，

∠DPC+∠PDC+∠PCD＝180°，

∴∠PDC＝∠CPF，

∵AD＝BC＝DC＝BE＝AE，

∴△ADE是等边三角形，

∴∠AED＝60°，

∴∠EDB＝∠PDC＝30°，

∴∠CPF＝30°．