Question

如图，已知：⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．

（1）求证：AC＝CP；

（2）若PC＝6，求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1）．（参考数据：，π＝3.14）

Answer

（1）证明见解析；（2）4.1

【解析】

（1）连接OC．根据圆周角定理即可求得∠COP＝2∠ACO＝60°，根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余，求得∠P＝30°，即可证明；

（2）阴影部分的面积即为Rt△OCP的面积减去扇形OCB的面积．

（1）证明：连接OC．

∵AB是⊙O的直径，

∴AO＝OC，

∴∠ACO＝∠A＝30°．

∴∠COP＝2∠ACO＝60°．

∵PC切⊙O于点C，

∴OC⊥PC．

∴∠P＝30°．

∴∠A＝∠P．

∴AC＝PC．

（2）【解析】
在Rt△OCP中，tan∠P=，∴,

∵ 且S扇形COB＝2π，

∴S阴影＝S△OCP﹣S扇形COB