Question

已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．

（1）求证：①BE＝CD；②△AMN是等腰三角形；

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；

（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

Answer

（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）因为∠BAC＝∠DAE，所以∠BAE＝∠CAD，又因为AB＝AC，AD＝AE，利用SAS可证出△BAE≌△CAD，可知BE、CD是对应边，根据全等三角形对应边上的中线相等，可证△AMN是等腰三角形．

（2）利用（1）中的证明方法仍然可以得出（1）中的结论，思路不变．

（3）先证出△ABM≌△ACN（SAS），可得出∠CAN＝∠BAM，所以∠BAC＝∠MAN（等角加等角和相等），又∵∠BAC＝∠DAE，所以∠MAN＝∠DAE＝∠BAC，所以△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形，所以∠PBD＝∠AMN，所以△PBD∽△AMN（两个角对应相等，两三角形相似）．

（1）证明：①∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAE＝∠CAD，

在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD，

∴BE＝CD．

②由△ABE≌△ACD，得

∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，

∵M、N分别是BE，CD的中点，

∴BM＝CN，

在△ABM和△ACN中，

∴△ABM≌△ACN．

∴AM＝AN，即△AMN为等腰三角形．

（2）【解析】
（1）中的两个结论仍然成立．

理由：①∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAE＝∠CAD，

在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD，

∴BE＝CD．

②由△ABE≌△ACD，得

∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，

∵M、N分别是BE，CD的中点，

∴BM＝CN，

在△ABM和△ACN中，

∴△ABM≌△ACN．

∴AM＝AN，即△AMN为等腰三角形．

（3）证明：由（1）同理可证△ABM≌△ACN，

∴∠CAN＝∠BAM，

∴∠BAC＝∠MAN．

又∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠MAN＝∠DAE＝∠BAC．

∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．

∵∠PBD＝∠ABC，∠PDB＝∠ADE，

又∵∠ADE＝∠ABC，

∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，

∴∠PBD＝∠AMN，∠PDB＝∠ANM，

∴△PBD∽△AMN．