Question

如图，，P为射线BC上任意一点点P和点B不重合，分别以AB，AP为边在内部作等边和等边，连结QE并延长交BP于点F，连接EP，若，，则______．

Answer

【解析】

连接EP，过点E作，由题意可得△AQE≌△ABP，可得QE=BP，，可求，根据勾股定理可求， BM=EM，EF=BF=2FM，EM=FM，可求BF=EF=4，EM=2，FM=2，由QF=11，EF=4，可得BP=EQ=7，可求MP的长，根据勾股定理可求EP的长．

【解析】
如图：连接EP，过点E作.

∵△AEB，△APQ是等边三角形

∴ AB=AE=BE=4 ，AQ=AP，∠ABE=∠BAE=∠QAP=60°=∠AEB，

∴∠BAP=∠EAQ，且AP=AQ，AB=AE，

∴ △ABP≌△AEQ，

∴EQ=BP，∠AEQ=∠ABC=90°，

∴∠BEF=∠EBF=30°，

∴BF=EF，∠EFM=60°，

∵，

∴∠FEM=30°，

∴EF=2FM =BF，EM=FM，

∵∠EBM=30°，，

∴BE=2EM，BM= EM，

∵EB=4 ，

∴EM=2，BM=6，

∵BF+FM=BM，

∴FM=2，BF=EF=4，

∵QF=EF+EF，

∴EQ=11-4=7，

∴ BP=7，

∴MP=BP –BM =1，

在Rt△EMP中， .

故答案为： .