Question

数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是宽为a，长为b的长方形。用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形。

（1）请用两种不同的方式表示图2大正方形的面积。

方式1：                             ；

方式2：                             .

（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系。

（3）类似地，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：

（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：，，求的值；

②已知，求的值。

Answer

(1)a2+b2+2ab，(a+b)2；(2)(a+b)2=a2+b2+2ab；(3)图形见解析；(4)①，②-2.

【解析】

(1)方法1：用1张A种纸片、1张B种纸片和两个C种纸片的面积表示拼成的大正方形的面积，方法2：用拼成的大正方形边长×边长表示大正方形的面积；

(2)根据(1)中两种方法都是求同一个大正方形的面积得出等量关系；

(3)用1张A种纸片、2张B种纸片、3张C种纸片拼成长方形进行验证；

(4)①把a-b=5两边平方，利用完全平方公式，即可解答，

②设2018-a=x，a-2017=y，则x+y=1，利用完全平方公式，即可解答.

【解析】
(1)方法1：a2+b2+2ab，

方法2：(a+b)2；

(2)∵第(1)小题中的两种方法都是计算同一个大正方形的面积，

∴(a+b)2=a2+b2+2ab；

(3)用1张A种纸片、2张B种纸片、3张C种纸片拼成长方形，如下图所示：

长方形的宽为(a+b)，长为(a+2b)，则面积为(a+b)(a+2b)，

1张A种纸片、2张B种纸片、3张C种纸片的面积和为：a2+3ab+2b2，

所以(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2；

(4)①∵a+b=5，

∴(a+b)2=25，

∴a2+2ab+b2=25，

∵a2+b2=12，

∴2ab=13，

∴ab=；

②设2018-a=x，a-2017=y，则x+y=1，

∵(2018-a)2+(a-2017)2=5，

∴x2+y2=5，

∵(x+y)2=x2+2xy+y2，

∴xy==-2，

即(2018-a)(a-2017)=-2.

故答案为：(1)a2+b2+2ab，(a+b)2；(2)(a+b)2=a2+b2+2ab；(3)图形见解析；(4)①，②-2.