Question

已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为线段CB上一点（不与C，B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE=∠AED，设∠BAD=α，∠CDE=β．   

（1）如图（1），

①若∠BAC=42°，∠DAE=30°，则α=________，β=________．

②若∠BAC=54°，∠DAE=36°，则α=________，β=________．

③写出α与β的数量关系，并说明理由；   

（2）如图（2），当E点在CA的延长线上时，其它条件不变，请直接写出α与β的数量关系．

Answer

(1) 12°；6°；18°；9°;(2) α=2β﹣180°，理由见解析.

【解析】

试题（1）①先根据角的和与差求α的值，根据等腰三角形的两个底角相等及顶角为30°得：∠ADE=∠AED=75°，同理可得：∠ACB=∠B=69°，根据外角性质列式：75°+β=69°+12°，可得β的度数；

②同理可求得：α=54°﹣36°=18°，β=9°；

③设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°﹣y°，分别求出∠ADE和∠B，根据∠ADC=∠B+α列式，可得结论；

（2）α=2β﹣180°，理由是：如图（2），设∠E=x°，则∠DAC=2x°，根据∠ADC=∠B+∠BAD，列式可得结论．

【解析】
（1）①∵∠DAE=30°，

∴∠ADE+∠AED=150°，

∴∠ADE=∠AED=75°，

∵∠BAC=42°，

∴α=42°﹣30°=12°，

∴∠ACB=∠B==69°，

∵∠ADC=∠B+α，

∴75°+β=69°+12°，

β=6°；

故答案为：12°，6°；

②∵∠DAE=36°，

∴∠ADE+∠AED=144°，

∴∠ADE=∠AED=72°，

∵∠BAC=54°，

∴α=54°﹣36°=18°，

∴∠ACB=∠B==63°，

∵∠ADC=∠B+α，

∴72°+β=63°+18°，

β=9°；

故答案为：18°，9°；

③α=2β，理由是：

如图（1），设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°﹣y°，

∵∠ACB=∠ABC，

∴∠ACB=，

∵∠ADE=∠AED，

∴∠AED=，

∴β+∠ADE=α+∠ABC，

β+=α+，

∴α=2β；

（2）α=2β﹣180°，理由是：

如图（2），设∠E=x°，则∠DAC=2x°，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=α+2x°，

∴∠B=∠ACB=，

∵∠ADC=∠B+∠BAD，

∴β﹣x°=+α，

∴α=2β﹣180°．