Question

探索题：(x﹣1)(x+1)＝x²﹣1，(x﹣1)(x²+x+1)＝x³﹣1，(x﹣1)(x³+x²+x+1)＝x⁴﹣1，(x﹣1)(x⁴+x³+x²+x+1)＝x⁵﹣1

根据前面的规律，回答下列问题：

(1)(x﹣1)(xⁿ+x^n﹣1+x^n﹣2+…+x³+x²+x+1)＝_____．

(2)当x＝3时，(3﹣1)(3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁴+3²⁰¹³+…+3³+3²+3+1)＝_____．

(3)求：2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2³+2²+2+1的值．(请写出解题过程)

(4)求2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+…+2³+2²+2+1的值的个位数字．(只写出答案)

Answer

（1）xn+1﹣1；（2）32016﹣1；（3）22015﹣1；（4）1.

【解析】

试题通过观察，可得出（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1）= xn+1﹣1，结合规律即可解决问题.

试题解析：（1）（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1）=xn+1﹣1，

故答案为：xn+1﹣1；

（2）当x=3时，（3﹣1）（32015+32014+32013+…+33+32+3+1）=32016﹣1，

故答案为：32016﹣1

（3）【解析】
原式=（2﹣1）（22014+22013+22012+…+23+22+2+1）=22015﹣1

（4）22016+22015+22014+…+23+22+2+1=（2﹣1）（22016+22015+22014+…+23+22+2+1）=22017﹣1，

21的末位数字是2，22的末位数字是4，23的末位数字是8，24的末位数字是6，25的末位数字是2…，

所以2n的末位数字是以2、4、8、6四个数字一循环．

2017÷4=504…1，

所以22017的末尾数字是2，

22017﹣1的末尾数字是1．