Question

(1)如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明． (提示：延长CD到G，使得DG＝BE)

(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

(3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西20°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．(可利用(2)的结论)

Answer

(1)EF＝BE+DF；(2)EF＝BE+DF仍然成立；(3)此时两舰艇之间的距离是140海里．

【解析】

（1）根据全等三角形对应边相等解答；

（2）延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B＝∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再求出∠EAF＝∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝GF，然后求解即可；

（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EAF＝∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可．

【解析】
(1)EF＝BE+DF；

证明：如图1，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG(SAS)，

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF(SAS)，

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

(2)EF＝BE+DF仍然成立．

证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，

∴∠B＝∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG(SAS)，

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF(SAS)，

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

(3)如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，

∵∠AOB＝20°+90°+(90°﹣60°)＝140°，

∠EOF＝70°，

∴∠EOF＝∠AOB，

又∵OA＝OB，

∠OAC+∠OBC＝(90°﹣20°)+(60°+50°)＝180°，

∴符合探索延伸中的条件，

∴结论EF＝AE+BF成立，

即EF＝1×(60+80)＝140(海里)．

答：此时两舰艇之间的距离是140海里．