Question

几何探究题

(1)发现：在平面内，若BC＝a，AC＝b，其中a＞b．

当点A在线段BC上时(如图1)，线段AB的长取得最小值，最小值为　   　；

当点A在线段BC延长线上时(如图2)，线段AB的长取得最大值，最大值为　   　．

(2)应用：点A为线段BC外一动点，如图3，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE．

①证明：CD＝BE；

②若BC＝3，AC＝1，则线段CD长度的最大值为　   　．

(3)拓展：如图4，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

Answer

(1)a﹣b； a+b；(2)①证明见解析；②4；(3)满足条件的点P坐标(2﹣，)或(2﹣，﹣)，AM的最大值为2+3．

【解析】

（1）根据点A位于线段BC上时，线段AB的长取得最小值，根据点A位于BC的延长线上时，线段AB的长取得最大值，即可得到结论；

（2）①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；

②由于线段CD长的最大值＝线段BE的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；

（3）将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

(1)∵当点A在线段BC上时，线段AB的长取得最小值，最小值为BC﹣AC，∵BC＝a，AC＝b，∴BC﹣AC＝a﹣b，

当点A在线段BC延长线上时，线段AB的长取得最大值，最大值为BC+AC，∵BC＝a，AC＝b，∴BC+AC＝a+b，

故答案为：a﹣b，a+b；

(2)①∵△ABD和△ACE是等边三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠DAC＝∠BAE，

在△ACD和△AEB中，，

∴△ACD≌△AEB(SAS)，

∴CD＝BE；

②∵线段CD的最大值＝线段BE长的最大值，

由(1)知，当线段BE的长取得最大值时，点E在BC的延长线上，

∴最大值为BC+CE＝BC+AC＝4，

故答案为：4；

(3)∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，

则△APN是等腰直角三角形，

∴PN＝PA＝2，BN＝AM，

∵A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，

∴OA＝2，OB＝5，

∴AB＝3，

∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，

∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，

最大值＝AB+AN，

∵AN＝AP＝2，

∴最大值为2+3；

如图2，过P作PE⊥x轴于E，连接BE，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE＝AE＝，

∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，

∴P(2﹣，)．

如图3中，根据对称性可知，当点P在第四象限时，P(2﹣，﹣)时，也满足条件．

综上述，满足条件的点P坐标(2﹣，)或(2﹣，﹣)，AM的最大值为2+3．