Question

在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．

（1）求城门大楼的高度；

（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）

Answer

（1）12；（2）32米．

【解析】

（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DH于点E，由∠ADE=45°可得AE=DE，设AF=a,则AE＝（a﹣3），BF=21+(a-3)，根据∠ABF的正切值可求出a的值，即可得答案；（2）根据∠ABF的正弦值求出AB的长即可.

【解析】
（1）如图，作AF⊥BC交BC于点F，交DH于点E，

由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，

∵∠AED＝∠AFB＝90°，

∴∠DAE＝45°，

∴∠DAE＝∠ADE，

∴AE＝DE，

设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米，

∵tan∠B＝，

∴tan22°＝，

即，

解得，a＝12，

答：城门大楼的高度是12米；

（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝，

∴sin22°＝，

∴AB≈12÷=32，

即A，B之间所挂彩旗的长度是32米．