Question

解下列方程：

（1）；

（2）；

（3）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）＝120；

Answer

（1）x1= 1，x2＝，x3＝．（2）x1＝8，x2＝﹣1，x3＝﹣8，x4＝1．（3）x1＝﹣6，x2＝1．

【解析】

（1）把原方程变形为+1+＝，设y＝，可得分式方程，解分式方程后解两个一元二次方程即可得答案；（2）设x2+2x﹣8＝y，把原方程变形为++＝0，去分母后可得y＝9x或y＝﹣5x，代入x2+2x﹣8＝y，解两个一元二次方程即可得答案；（3）根据题意可得[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]＝120，即（x2+5x+4）（x2+5x+6）＝120，设x2+5x+4＝y，解关于y的一元二次方程求出y值，代入x2+5x+4＝y，解两个一元二次方程即可得答案.

（1）原方程可变形为+1+＝，

令y＝，则原方程可变为y+＝，

解得y1＝，y2＝．

当y1＝时，＝，解得x＝1；

当y2＝时，＝，解得x＝．

经检验：x＝1或都是原方程的解．

故原方程的解为x1＝1，x2＝，x3＝．

（2）设x2+2x﹣8＝y，则原方程可化为：++＝0，

方程的两边同乘y（y+9x）（y﹣15x），整理得y2﹣4xy﹣45x2＝0，

解得y＝9x或y＝﹣5x．

当y＝9x时，x2+2x﹣8＝9x，x2﹣7x﹣8＝0，解得x1＝8，x2＝﹣1；

当y＝﹣5x时，x2+2x﹣8＝﹣5x，x2+7x﹣8＝0，解得x3＝﹣8，x4＝1．

经检验：x1＝8，x2＝﹣1，x3＝﹣8，x4＝1都是原方程的解．

故原方程的解为x1＝8，x2＝﹣1，x3＝﹣8，x4＝1．

（3）[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]＝120，

（x2+5x+4）（x2+5x+6）＝120，

设x2+5x+4＝y，则y（y+2）＝120，

∴y2+2y﹣120＝0，

解得y＝10或y＝﹣12．

当y＝10时，x2+5x+4＝10，x2+5x﹣6＝0，解得x1＝﹣6，x2＝1；

当y＝﹣12时，x2+5x+4＝﹣12，x2+5x+16＝0，△＝25﹣64＝﹣39＜0，故此方程无实根．

故原方程的解为x1＝﹣6，x2＝1．