Question

如图，已知ΔABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D．

（1）若E是BD的中点，连结CE，试判断CE与⊙O的位置关系．

（2）若AC=3CD，求∠A的大小．

Answer

（1）位置关系：CE是⊙O的切线；（2）30°.

【解析】（1）连接OC，利用思路：连半径，通过角的变换，证明出CO与CE的垂直关系，即可得出结论。（2）用m表示出DC、AC，根据△ACB∽△BCD，得出一组等量关系，从而求出BC，再求出∠A的正切值，即可得出∠A=30。

（1）位置关系：CE是⊙O的切线.

连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=∠DCB=90°.

∵点E是BD的中点，

∴BE=CE.

∴∠EBC=∠ECB.

∵OC=OB

∴∠OCB=∠OBC

∴∠ECB+∠OCB=∠EBC+∠OBC

∴∠OCE=∠OBE.

∵BD⊥AB

∴∠OCE=∠OBE=90°

∴CE是⊙O的切线.

（2）∵∠ACB=∠BCD，∠A=∠DBC

∴ΔACB∽ΔBCD.

∴

∴

∵AC=3CD

∴,即

∴在RtΔACB中,tan∠A=

∴∠A=30°.