Question

如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接DE，AE，BD交于点F．

(1)求∠AFB的度数；

(2)求证：BF＝EF；

(3)连接CF，直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．

Answer

（1）∠AFB＝60°；（2）见解析；（3）AB+CF＝2EF．

【解析】

(1)根据正方形的性质得∠ADB＝45°，再有旋转图形的边相等，则对应的底角也相等求出∠DAE＝∠DEA＝15°，从而得到∠AFB＝60°.

(2)由等边三角形及∠DEA＝15°，得到∠CEF＝∠CBF＝45°，再结合已知根据SAS证明△ADF≌△CDF，再由角的代换证明出△ECF≌△BCF，从而证明BF＝EF.

(3过C作CG⊥BD于G,由已知求出∠GCF＝30°从而得到CF＝2FG，设FG＝x，从而求出AB+CF＝2x+2x，EF＝BF＝BG+FG＝x+x，最终得到AB+CF＝2EF.

【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADB＝∠ADC＝45°，

由旋转得：CD＝CE，∠DCE＝60°，

∴△DCE是等边三角形，

∴CD＝DE＝AD，∠ADE＝90°+60°＝150°，

∴∠DAE＝∠DEA＝15°，

∴∠AFB＝∠FAD+∠ADB＝15°+45°＝60°；

（2）连接CF，

∵△CDE是等边三角形，

∴∠DEC＝60°，

∵∠DEA＝15°，

∴∠CEF＝∠CBF＝45°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠ADF＝∠CDF＝45°，

∵DF＝DF，

∴△ADF≌△CDF（SAS），

∴∠DAF＝∠DCF＝15°，

∴∠FCB＝90°﹣15°＝75°，∠ECF＝60°+15°＝75°，

∴∠FCB＝∠ECF，

∵CF＝CF，

∴△ECF≌△BCF（SAS），

∴BF＝EF；

（3）AB+CF＝2EF，理由是：

过C作CG⊥BD于G，

∵∠CBD＝45°，

∴△CGB是等腰直角三角形，

∵∠BCF＝75°，

∴∠GCF＝30°，

∴CF＝2FG，

设FG＝x，则CF＝2x，CG＝BG＝x，

∴BC＝AB＝CG＝x，

∴AB+CF＝2x+2x，EF＝BF＝BG+FG＝x+x，

∴AB+CF＝2EF．