Question

已知∠ACB＝90°，AC＝2，CB＝4．点P为线段CB上一动点，连接AP，△APC与△APC′关于直线AP对称，其中点C的对称点为点C′．直线m过点A且平行于CB

（1）如图①：连接AB，当点C落在线段AB上时，求BC′的长；

（2）如图②：当PC＝BC时，延长PC′交直线m于点D，求△ADC′面积；

（3）在（2）的条件下，连接BC′，直接写出线段BC′的长．

Answer

（1） ；（2）；（3）

【解析】

（1）先根据勾股定理知AB＝2，再由轴对称性质知AC＝AC′＝2，据此可得答案；

（2）先轴对称性质知AC＝AC′＝2，PC＝PC′＝1，∠AC′P＝90°，作C′M⊥直线m，延长MC′交BC于点N可得四边形ACNM是矩形，设C′N＝x，则MC′＝2﹣x，证△AMC′∽△C′NP得，据此可得AM＝2x，PN＝，根据AM＝CN＝CP+PN可得x＝，从而得出C′N＝，C′M＝，AM＝，PN＝，再证△DMC′∽△PNC′得，据此求得DM＝，最后利用三角形面积公式求解可得答案；

（3）由（2）知PB＝3，PN＝，C′N＝，据此求得BN＝PB﹣PN＝，利用勾股定理可得答案．

（1）∵AC＝2，BC＝4，∠ACB＝90°，

∴AB＝，

∵△APC与△APC′关于直线AP对称，

∴AC＝AC′＝2，

则BC′＝AB﹣AC′＝2﹣2；

（2）∵PC＝BC，BC＝4，

∴PC＝1，BP＝3，

∵△APC与△APC′关于直线AP对称，

∴AC＝AC′＝2，PC＝PC′＝1，∠AC′P＝90°，

如图，过点C′作C′M⊥直线m，延长MC′交BC于点N，

∵AD∥BC，

∴MN⊥BC，

则∠AMC′＝∠C′NP＝90°，

∴四边形ACNM是矩形，

∴AC＝MN＝2，AM＝CN，

又∠AC′P＝90°，

∴△AMC′∽△C′NP，

∴，

设C′N＝x，则MC′＝2﹣x，

∴，

解得AM＝2x，PN＝，

由AM＝CN＝CP+PN可得2x＝1+，解得x＝，

则C′N＝，C′M＝，AM＝，PN＝，

∵AD∥BC，

∴△DMC′∽△PNC′，

∴，即，

解得：DM＝，

∴AD＝AM+DM＝，

∴△ADC′面积为；

（3）由（2）知PB＝3，PN＝，C′N＝，

∴BN＝PB﹣PN＝，

在Rt△BC′N中，BC′＝．