Question

已知：AD是△ABC的高，且BD＝CD．

（1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAD；

（2）如图2，点E在AD上，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，A′B与AC相交于点F，若BE＝BC，求∠BFC的大小；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF，过点C作CG⊥EF，交EF的延长线于点G，若BF＝10，EG＝6，求线段CF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）∠BFC＝60°；（3）CF＝8．

【解析】

(1)易得AB＝AC，∠BAD＝∠CAD.

(2) 连接EC, 可证得△BCE是等边三角形，∠BEC＝60°，∠BED＝30°且由翻折的性质可知：∠ABE＝∠A′BE＝∠ABF，可得∠BFC＝∠FAB+∠FBA＝2（∠BAE+∠ABE）＝2∠BED＝60°.

(3) 连接EC，作EH⊥AB于H，EN⊥AC于N，EM⊥BA′于M, 可证得Rt△EMB≌Rt△ENC，

BM＝CN，BF﹣FM＝CF+FN，可得CF的值.

（1）证明：如图1中，

∵BD＝CD，AD⊥BC，

∴AB＝AC，

∴∠BAD＝∠CAD．

（2）【解析】
如图2中，连接EC．

∵BD⊥BC，BD＝CD，

∴EB＝EC，

又∵EB＝BC，

∴BE＝EC＝BC，

∴△BCE是等边三角形，

∴∠BEC＝60°，

∴∠BED＝30°，

由翻折的性质可知：∠ABE＝∠A′BE＝∠ABF，

∴∠ABF＝2∠ABE，由（1）可知∠FAB＝2∠BAE，

∴∠BFC＝∠FAB+∠FBA＝2（∠BAE+∠ABE）＝2∠BED＝60°．

（3）【解析】
如图3中，连接EC，作EH⊥AB于H，EN⊥AC于N，EM⊥BA′于M．

∵∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠A′BE，

∴EH＝EN＝EM，

∴∠AFE＝∠EFB，

∵∠BFC＝60°，

∴∠AFE＝∠BFE＝60°，

在Rt△EFM中，∵∠FEM＝90°﹣60°＝30°，

∴EF＝2FM，设FM＝m，则EF＝2m，

∴FG＝EG﹣EF＝6﹣2m，

易知：FN＝EF＝m，CF＝2FG＝12﹣4m，

∵∠EMB＝∠ENC＝90°，EB＝EC，EM＝EN，

∴Rt△EMB≌Rt△ENC（HL），

∴BM＝CN，

∴BF﹣FM＝CF+FN，

∴10﹣m＝12﹣4m+m，

∴m＝1，

∴CF＝12﹣4＝8．