Question

在△ABC中，已知∠CAB＝60°，D、E分别是边AB、AC上的点，且∠AED＝60°，ED+DB＝CE，∠CDB＝2∠CDE，则∠DCB等于_____．

Answer

20°.

【解析】

延长AB到F使BF=AD，连接CF，如图，先判断△ADE为等边三角形得到AD=DE=AE，∠ADE=60°，再利用∠CDB=2∠CDE得到∠CDE=40°，∠CDB=80°，接着证明AF=AC，从而可判断△AFC为等边三角形，则有CF=AC，∠F=60°，然后证明△ACD≌△FCB 得到CB=CD，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠DCB的度数．

延长AB到F使BF＝AD，连接CF，如图，

∵∠CAD＝60°，∠AED＝60°，

∴△ADE为等边三角形，

∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，

∴∠BDE＝180°﹣∠ADE＝120°，

∵∠CDB＝2∠CDE，

∴3∠CDE＝120°，解得∠CDE＝40°，

∴∠CDB＝2∠CDE＝80°，

∵BF＝AD，

∴BF＝DE，

∵DE+BD＝CE，

∴BF+BD＝CE，即DF＝CE，

∵AF＝AD+DF，AC＝AE+CE，

∴AF＝AC，

而∠BAC＝60°，

∴△AFC为等边三角形，

∴CF＝AC，∠F＝60°，

在△ACD和△FCB 中

，

∴△ACD≌△FCB（SAS），

∴CB＝CD，

∴∠CBD＝∠CDB＝80°，

∴∠DCB＝180﹣（∠CBD+∠CDB）＝20°．