Question

如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．

（1）求证：BF＝BC；

（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．

Answer

（1）见解析，（2）CF＝cm.

【解析】

（1）要求证：BF=BC只要证明∠CFB=∠FCB就可以，从而转化为证明∠BCE=∠BDC就可以；

（2）已知AB=4cm，AD=3cm，就是已知BC=BF=3cm，CD=4cm，在直角△BCD中，根据三角形的面积等于BD•CE=BC•DC，就可以求出CE的长．要求CF的长，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF=BF-BE，BE在直角△BCE中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题．

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，

∴∠CDB+∠DBC＝90°．

∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB＝90°．

∴∠ECB＝∠CDB．

∵∠CFB＝∠CDB+∠DCF，∠BCF＝∠ECB+∠ECF，∠DCF＝∠ECF，

∴∠CFB＝∠BCF

∴BF＝BC

（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝4（cm），BC＝AD＝3（cm）．

在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝．

又∵BD•CE＝BC•DC，

∴CE＝．

∴BE＝．

∴EF＝BF﹣BE＝3﹣．

∴CF＝cm．