Question

如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．

（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；

（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．

Answer

（1）四边形EBGD是菱形，理由见解析；（2）.

【解析】

试题（1）四边形EBGD是菱形，根据已知条件易证△EFD≌△GFB，可得ED=BG，所以BE=ED=DG=GB，即可判定四边形EBGD是菱形．（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在Rt△EMC中，求出EM、MC即可解决问题．

试题解析：（1）四边形EBGD是菱形．

理由：∵EG垂直平分BD，

∴EB=ED，GB=GD，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EBD=∠DBC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EFD和△GFB中，

，

∴△EFD≌△GFB，

∴ED=BG，

∴BE=ED=DG=GB，

∴四边形EBGD是菱形．

（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，

在Rt△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2，

∴EM=BE=，

∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，

∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，

在Rt△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，

∴∠NDC=∠NCD=45°，

∴DN=NC=，

∴MC=3，

在Rt△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=．MC=3，

∴EC===10．

∵HG+HC=EH+HC=EC，

∴HG+HC的最小值为10．