Question

如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE=EF．

（1）求证：∠C=90°；

（2）当BC=3，sinA=时，求AF的长．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）连接OE，BE，因为DE=EF，所以=，从而易证∠OEB=∠DBE，所以OE∥BC，从可证明BC⊥AC；

（2）设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA=从而可求出

r的值．

（1）连接OE，BE，

∵DE=EF，

∴=

∴∠OBE=∠DBE

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE

∴∠OEB=∠DBE，

∴OE∥BC

∵⊙O与边AC相切于点E，

∴OE⊥AC

∴BC⊥AC

∴∠C=90°

（2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=，

∴AB=5，

设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，

在Rt△AOE中，sinA=

∴

∴