Question

在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，4），CD是△AOB的中位线．若将△COD绕点O旋转，得到△C′OD′，射线AC′与射线BD′的交点为P．

（1）∠APB的度数是_____°．

（2）在旋转过程中，记P点横坐标为m，则m的取值范围是_____．

Answer

90°；

【解析】

（1）由SAS证得△BOD'△AOC'，可得∠C'AO=∠D'BO，因为∠BMP=∠AMO，可得∠APB=∠AOB=90°；

（2）点P在AB为直径的⊙M上运动，过M作PM∥OA交⊙M于点P（在点M的左侧），此时m的值最小；当BD′与⊙O相切时，m最大，分别求出对应m的值，即可得出m的取值范围．

（1）如图1，

∵A（4，0），B（0，4），

∴OA=OB，∠AOB=90°，

∵CD是△AOB的中位线，

∴CO=DO=2=BD=AC，

∵将△COD绕点O旋转，得到△C′OD′，

∴CO=DO，∠C'OD'=90°=∠AOB，

∴∠BOD'=∠AOC'，且C'O=D'O，AO=BO，

∴△BOD△AOC'（SAS）

∴∠C'AO=∠D'BO，

∵∠BMP=∠AMO，

∴∠APB=∠AOB=90°，

故答案为：90，

（2）如图2，

∵∠BPA=90°，

∴点P在AB为直径的⊙M上运动，

过M作PM∥OA交⊙M于点P（在点M的左侧），此时m的值最小，

∵AB=4，DM=2，

∴PD=2−2，

∴m＝2−2．

如图3，

∵OD′=OC′=2，

∴点D′，点C′在⊙O上运动，

当BD′与⊙O相切时，m最大，

此时BD′=，D′P=OC′=2，

∴BP=2+2，

∵OB4，OD′=2，

∴sin∠OBD′=，

∴m=BP＝+1，

∴2−2≤m≤+1．