Question

在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：

如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A₁B₁C₁D₁，A₂B₂C₂D₂，AB₃C₃D₃都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB₃C₃D₃是点A，B，C的最优覆盖矩形．

（1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．

①当t＝2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为     ；

②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；

（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y＝（x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．

Answer

（1）35， ；（2）.

【解析】

（1）①由矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，得出最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5，即可得出结果；

②由定义可知，t=-3或6，即点C坐标为（-3，-2）或（6，-2），设AC表达式为y=kx+b，代入即可求出结果；

（2）OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，OD所在的直线表达式为y=x，得出点E的坐标为（2，2），⊙P的半径最小r=，当点E的纵坐标为1时，⊙P的半径最大r=，即可得出结果．

（1）①∵A（﹣2，3），B（5，0），C（2，﹣2），矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，

∴最优覆盖矩形的长为：2+5＝7，宽为3+2＝5，

∴最优覆盖矩形的面积为：7×5＝35；

②∵点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，

∴由定义可知，t＝﹣3或6，即点C坐标为（﹣3，﹣2）或（6，﹣2），

设AC表达式为y＝kx+b，

∴或

∴或

∴y＝5x+13或；

（2）①OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，如图1所示：

∵点D（1，1），

∴OD所在的直线表达式为y＝x，

∴点E的坐标为（2，2），

∴OE＝，

∴⊙P的半径最小r＝，

②当DE∥x轴时，即：点E的纵坐标为1，如图2所示：

∵点D（1，1）．E（m，n）是函数y＝（x＞0）的图象上一点

∴1＝，解得x＝4，

∴OE═=，

∴⊙P的半径最大r＝，

∴．